Компютърно упражнение - математически анализ, 19.12.2013

1. Упражняване върху софтуера Mathematica

Зад. 1. Наберете формулата и запазете резултата в променлив  а с точност до 3 ти знак и опростете израза.

Clear[x,y,z,t]

{{x,y,z,t},{}}

a=(∫_(-∞)^(+∞))(E^(-(x^2)))\[DifferentialD]x+x(∏_(i=1)^∞)(1-((x^2)/((i^2)(π^2))))-(∑_(j=1)^100)((2^j)/(j!))+Det[(({{x, y, z, t}, {y, x, z, t}, {z, t, x, y}, {y, z, x, t}}))];

N[a]//Simplify
(* Забележка: Sinc[x] = Sin[x]/x *)

Зад. 2. Начертайте графиката на функцията sin (sin (sin (10 x))) в интервала [-10, 10].

Plot[Sin[x+Cos[x+Sin[x]]],{x,-10,10}]

Зад. 3. Начертайте графиките на функциите (x^x),(x^(sin(x))),(sin^x)(x) в интервала [0, 2].Защо поведението в нулата е такова?

Plot[{(x^x),(x^(Sin[x])),((Sin[x])^x)},{x,0,3}]

Зад. 4. Начертайте графикaта на функцията z=f(x,y)=sin(π((x^2)+(y^2))/2) с 30% прозрачност (Opacity) и без линии на ниво (Mesh)в ((квадрата [-π/2,π/2])^2).

Plot3D[Sin[(π/2)((x^2)+(y^2))],{x,-π/2,π/2},{y,-π/2,π/2},PlotStyle->Opacity[0.3],Mesh->None]

Зад. 5Начертайте областта, определена от неравенствата
(x^2)+(y^2)≤ 2x
(x^2)+(y^2)≤ 2y
(x^2)+(y^2)≤ 2x+2y

a1=RegionPlot[(x^2)+(y^2)≤ 2x &&(x^2)+(y^2)≤ 2y && (x^2)+(y^2)≥  2x+2y-1, {x,-1,2},{y,-1,2}]
b1=ContourPlot[{(x^2)+(y^2)== 2x ,(x^2)+(y^2)== 2y , (x^2)+(y^2)==  2x+2y-1}, {x,-1,2},{y,-1,2}]
Show[a1,b1]

Зад .6 Начертайте областта - обединение на кръговете с радиус 1 и центрове
 (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), която не съдържа точки от кръга с радиус (Sqrt[2]) и център (0,0).

a2=RegionPlot[((((x-1))^2)+(y^2)≤ 1 || (((x+1))^2)+(y^2)≤ 1 || (((y+1))^2)+(x^2)≤ 1  || (((y-1))^2)+(x^2)≤1)&&(x^2)+(y^2)≥2, {x,-2,2},{y,-2,2}]
b2=ContourPlot[{(((x-1))^2)+(y^2)== 1 , (((x+1))^2)+(y^2)== 1, (((y+1))^2)+(x^2)== 1  ,(((y-1))^2)+(x^2)== 1, (x^2)+(y^2)== 2}, {x,-2,2},{y,-2,2}]
Show[a2,b2]

Зад .7 Начертайте областта в (R^3), определена от 
2(x^2)+2(y^2)<=(z^2)
2-(z/2)≥ x^2+y^2 
z ≥ 0

a3=RegionPlot3D[2(x^2)+2(y^2)<=(z^2)&&2-(z/2)≥ x^2+y^2 &&z ≥ 0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,4},Axes->True,Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.8]];
b3=ParametricPlot3D[{Cos[a],Sin[a],(Sqrt[2])},{a,0,2π}];
Show[a3,b3]

ИНТЕГРАЛИ - ПРЕСМЯТАНЕ С MATHEMATICA

Синтаксис:

Integrate[ <ФУНКЦИЯ>
Boole[<ОГРАНИЧЕНИЯ>],
{x,-∞,+∞},{y,-∞,+∞},...]

Integrate[ Abs[y]Boole[(((x-1))^2)+(y^2)≤ 1 || (((x+1))^2)+(y^2)≤ 1 || (((y+1))^2)+(x^2)≤ 1  || (((y-1))^2)+(x^2)≤1], {x,-∞,∞} ,{y,-∞,∞}]

Integrate[ 1Boole[(((x))^2)+(y^2)≤ 2 ], {x,-∞,∞} ,{y,-∞,∞}]

Integrate[ (x^2+y^2) Boole[0≤z≤1&&x^2+y^2≤z^2], {x,-∞,∞} ,{y,-∞,∞}, {z,0,1} ]

RegionPlot3D[0≤z≤1&&x^2+y^2≤z^2,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,0,1}]

2. Криви

Криви, зададени параметрично. Чертане и изследване.

x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
t ϵ [(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]

n=10;
ParametricPlot[{ Cos[2t  π],Sin[ n 2 π t]},{t,0,1}]

ParametricPlot[{ t Cos[2t ],t+Sin[ 2 π t ]},{t,0,10}]

a=ParametricPlot3D[{ t Cos[t] ,Sin[t ] t, t},{t,0,100}]
b=Plot3D[(Sqrt[(x^2)+(y^2)]),{x,-150,150},{y,-150,150},PlotStyle->Opacity[0.5],Mesh->None]
Show[a,b]

Допълнение към материала : Асимптоти към крива, зададена параметрично.

Нека x=x(t), y=y(t) е крива.
Ако съществува 
(lim_(t-> τ))((y(t))/(x(t)))=a
 и
 (lim_(t-> τ))(y(t)-а x(t))=b,
то правата 
y=ax+b 
е асимптота към кривата {x(t),y(t)}, при t -> τ

Задача. Да се провери, че кривата
x(t)=t+(1/t)
y(t)=t+(1/(t^2))
има наклонена асимптота при t->1

x[t_]:=t+(1/t);
y[t_]:=t+(1/(t^2))
a=Limit[((y[t])/(x[t])),t->1]
b=Limit[y[t]-Limit[((y[t])/(x[t])),t->1]x[t],t->1]

c1=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,-10,10}];
d1=Plot[a x+b,{x,-15,15}];
Show[c1,d1]

Manipulate[
Show[
ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,-20,q},PlotRange->{{-20,20},{-20,20}}],Plot[a x+b,{x,-20,15}],
ListPlot[{{x[q],y[q]}},PlotMarkers->StringJoin["t=",ToString[q]]]
],{q,-19,20,0.001}
]

Криви в полярни координати. Спирали

Крива в полярни координати наричаме крива, зададена по следния начин
x (α) = r (α) cos (α)
y (α) = r (α) sin (α)

Примери :

r[a_]:=(1/(1+2Cos[a]))
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,-4,4}]

r[a_]:=(1/(Sin[a]+Cos[a]))
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,-5,5}]

r[a_]:=(1/(1+Cos[a]))
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,-5,5}]

r[a_]:=(1/(2+Cos[a]))
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,-5,5}]

СПИРАЛИ : 0 < r (α) - монотонна.

r[a_]:=a (* АРХИМЕДОВА *)
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,0,15}]

r[a_]:=Exp[a] (* Логаритмична *)
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,0,5}]

r[a_]:=1/a (* Хиперболична *)
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,0,15}]

r[a_]:=1/(Sqrt[a]) (* Жезъл *)
ParametricPlot[{r[a]Cos[a],r[a]Sin[a]},{a,0,15}]

Криволинейни Интеграли