

Ще установим някои основни свойства на определения интеграл,
използувайки двете еквивалентни дефиниции, дадени в предния
параграф.

\vskip .2 cm

{\bf 1. Линейност.} {\it Нека функциите $f(x)$ и $g(x)$ са
интегруеми в интервала $[a,b]$  и $\lambda \in \blet{R}$ . Тогава
$f(x)+g(x)$ и $\lambda f(x)$ също са интегруеми и са в сила
равенствата:} $$\int\limits_{a}^{b}\,\bc{f(x)+g(x)}\,dx \,=\,
\int\limits_{a}^{b} \,f(x)\,dx \,+\,
\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx\,,$$ $$ \int\limits_{a}^{b}\,\lambda
f(x)\,dx \,=\,\lambda \,\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,.$$


\medskip

{\bf 2. Позитивност.} {\it Ако $f(x)$ е неотрицателна интегруема
функция, то} $$ \int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,\geq\,0\,.$$



\medskip

{\bf 3.} {\it Ако функцията $f(x)$ е интегруема в $[a,b]$, то
$\m{f(x)}$ е също интегруема този интервал и е в сила
неравенството:} $$ \m{ \int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx } \,\leq\,
\int\limits_{a}^{b}\, \m{f(x)}\,dx \,.$$


\medskip

{\bf 4. Адитивност.} {\it Нека $c \in (a,b)$ . Тогава $f$ е
интегруема в $[a,b]$ тогава и само тогава, когато $f$ е интегруема
във всеки от интервалите $[a,c]$ и $[b,c]$. При това $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,=\,\int\limits_{a}^{c}\,f(x)\,dx
\,+\,\int\limits_{c}^{b}\,f(x)\,dx $$ всеки път, когато трите
интеграла съществуват.}



\medskip

{\bf Конвенция.} Досега разглеждахме определени интеграли, за
които долната граница е по-малка от горната. Удобно е да се
освободим от това ограничение. Нека $a > b$ . Ще положим $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,\stackrel{def}{=}\,-\,
\int\limits_{b}^{a}\,f(x)\,dx\,. $$

При $a=b$ ще считаме горният интеграл равен на нула.


\medskip

{\bf 5. Първа теорема за средната стойност.} {\it Нека функциите
$f(x)$ и $g(x)$ са интегруеми в интервала $[a,b]$ , като  $g(x)$
не си мени знака. Да означим с $M$ и $m$ точната горна и точната
долна граници на  $f(x)$ в $[a,b]$. Тогава съществува число $\mu$,
$m \leq \mu \leq M$, за което е изпълнено равенството} $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)g(x)\,dx \,=\,\mu\,
\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx\,. $$

\vskip .2 cm

{\bf Доказателство.} Да предположим например, че $g(x) \geq 0$.
Интегрирайки в интервала $[a,b]$ неравенството $$ m\, f(x) \, \leq
\, f(x) \cdot g(x) \,\leq M \,f(x)$$ получаваме $$m \,
\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx \, \leq \,
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)g(x)\,dx \, \leq \, M\,
\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx \,.$$

При $ \int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx =0 $ твърдението на теоремата
е очевидно независимо от избора на $\mu$. В противен случай,
означавайки $$\mu \,=\, \dfrac{ \int\limits_{a}^{b}\,f(x)g(x)\,dx
}{\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx }\,,$$ можем да запишем горното
неравенство във вида $m \leq \mu \leq M $ , откъдето следва
исканото твърдение.

Случаят $g(x) \leq 0$ се разглежда аналогично.

\medskip

Използувайки теоремата за междинните стойности за непрекъснати
функции (следствие 3 от \S 1.10), получаваме:

{\bf Следствие 1.} {\it Ако функцията $f(x)$ е непрекъсната в
$[a,b]$, то съществува $\xi \in [a,b]$, така че} $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x) g(x)\,dx
\,=\,f(\xi)\,\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,dx\,. $$

\medskip

Ще отбележим, че теоремата се използува най-често в случая, когато
$g(x)=1 $ - тогава горното следствие се записва във вида: $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,=\,f(\xi)\,(b-a)\,.$$

\medskip

{\bf Следствие 2.} {\it Нека $f(x)$ е интегруема в интервала
$[a,b]$ . Тогава функцията, определена с формулата $$F(x) \,=\,
\int\limits_{a}^{x}\,f(t) \,dt\,, $$ е непрекъсната в $[a,b]\,.$}

\medskip

Наистина, ако $\m{f(t)} \leq M$ , то от горното твърдение следва,
че за всеки две точки $x,y \in [a,b]$ имаме \footnote{ Доказаното
неравенство се нарича свойство на Липшиц за функцията  $F(x)$ и
влече след себе си нейната непрекъснатост.} $$\m{F(y)-F(x)}
\,=\,\m{\int\limits_{x}^{y}\,f(t) \,dt} \leq \, M\m{x-y}\,.$$

