
В настоящия параграф ще изложим някои теореми, използувани при
пресмятане на определените интеграли.

%\begin{minipage}{60mm}
%\begin{floatingfigure}[l]{6.5cm}
%\begin{center}
%\mbox{\epsfig{file=izint1.eps}} \mbox{Доказателство на теоремата}
%\mbox{на Лайбниц-Нютон}
%\end{center}
%\end{floatingfigure}
%\end{minipage}

{\bf Теорема на Лайбниц - Нютон. }\index{теорема!на
Лайбниц-Нютон}Тук ще изясним връзката между въведения в тази глава
определен интеграл и неопределения интеграл, въведен по-рано.
Знаем, че определеният интеграл е реално число, докато
неопределеният е функция. Независимо от това, тези две понятия са
тясно свързани. Нека функцията $f(x)$ е интегруема в $[a,b]$.
Тогава, както видяхме в предния параграф, функцията  \footnote{ За
да не възникне объркване, интеграционната променлива означаваме с
буквата $t$ . Разбира се, това не влияе на стойността на
интеграла.} $$F(x) \,=\,\int\limits_{a}^{x} f(t) \, dt\,,$$
дефинирана също в $[a,b]$, е непрекъсната. Естествено възниква
въпросът при какви предположения за $f$ функцията $F$ щe се окаже
диференцируема. Отговор дава следната фундаментална

\medskip

{\bf Теорема на Лайбниц - Нютон. }{ \it Нека функцията $f$ е
непрекъсната в $[a,b]$ . Тогава функцията $F$ е диференцируема и е
в сила равенството}

$$F'(x) \,=\,f(x)\,.$$

\medskip

{\bf Доказателство.} Нека $x \in [a,b]$ и нека $h$ е толкова
малко, че $x+h$ също принадлежи на $[a,b]$ . Да образуваме
диференчното частно $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \,=\,\frac{1}{h}
\bc{\int\limits_{a}^{x+h}\,f(t)\,dt \,-\,
\int\limits_{a}^{x}\,f(t)\,dt } \,=\,\frac{1}{h} \,
\int\limits_{x}^{x+h}\,f(t)\,dt \,.$$ \noindent (виж свойства 4 и
4').

Тогава според Следствие 1 на първата теорема за средната стойност
 съществува $ \xi \in (x,x+h)$ ($ \xi \in (x+h,x)$ при $h<0$) такова, че
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \,=\, f(\xi)\,.$$

Ако сега оставим $h$ да клони към нула, то $ \xi$ ще клони към $x$
. Като използуваме още веднъж непрекъснатостта на $f(x)$ ,
получаваме исканото твърдение. $\Box$

\vskip .5 cm

{\bf Следствие.} {\it Всяка непрекъсната функция притежава
примитивна. }

\vskip .2 cm

{\bf Формула на Лайбниц - Нютон.}\index{формула!на Лайбниц-Нютон}
От горната теорема е ясно как неопределеният интеграл от една
непрекъсната функция, т.е. нейните примитивни, могат да се изразят
чрез определения интеграл от нея. Следващото твърдение показва,
обратно, как може да бъде пресметнат определеният интеграл от
функцията, ако е известна някоя нейна примитивна.

\vskip .2 cm

{\it Нека $f(x)$ е непрекъсната в $[a,b]$ и $\Phi (x)$ е
произволна нейна примитивна. Тогава е изпълнена формулата} $$
\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,=\,\Phi (b) \,-\,\Phi (a).$$

\vskip .2 cm

{\bf Доказателство.} Нека $F$ е примитивната на $f$ , дефинирана в
теоремата на Лайбниц - Нютон. Очевидно тя удовлетворява
равенството $F(a)=0$ . Както знаем, разликата на всеки две
примитивни на дадена функция е константа и следователно $$F(x)
\,=\,\Phi (x) \,+\, C\,.$$

Като положим тук $x=a$ , получаваме $$F(a) \,=\,\Phi (a) \,+\,
C\,, \quad \mbox{ т.е.}\quad C \,=\,-\, \Phi (a)\,.$$

Оттук имаме $$ \int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,=\,F(b) \,=\,\Phi
(b) \,-\,\Phi (a)\,.\Box$$

\vskip .2 cm

{\bf Забележка.} За удобство ние ще използуваме означението $$
\left. \Phi(x) \right | ^{b}_{a}\,\stackrel{def}{=}\, \Phi (b)
\,-\,\Phi (a).$$

\vskip .2 cm

{\bf Следствие.} Ако функцията $f$ притежава непрекъсната първа
производна в $[a,b]$ , то е в сила равенството $$
\int\limits_{a}^{b}\,f'(x)\,dx \,=\, \left. f(x) \right |
^{b}_{a}.$$

\vskip .5 cm

{\bf Пример.} Имаме $$ \int\limits_{0}^{\pi}\,\sin x \,dx
\,=\,\left.\bc{-\cos x} \right|^{\pi}_{0} \,=\,1\,-\,(-1)
\,=\,2.$$

Лесно се вижда, че този интеграл изразява лицето на фигурата,
оградена от една дъга на синусоидата и от абцисната ос.

\vskip .5 cm


{\bf Правило за интегриране по части.} С помощта на доказаните
по-горе твърдения някои от свойствата на неопределения интеграл
лесно могат да бъдат преформулирани и за определените интеграли.
Нека функциите $f$ и $g$ са непрекъснати в интервала $[a,b]$ .
Тогава от формулата за диференциране на произведение имаме $$
f(x)\,g'(x) \,=\, \bc{f(x)g(x)}' \,-\, g(x)\,f'(x)\,.$$

Интегрирайки горното равенство в граници от $a$ до $b$ ,
получаваме формулата за \underline{интегриране по части}
\index{интегриране! по части}за определени интеграли \footnote{ Ще
напомним, че изразите $df(x)$ и $dg(x)$ са съкратени означения
съответно за $f'(x)\,dx$ и $g'(x)\,dx$ .}.
$$\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dg(x) \,=\, \left. f(x) g(x)\right |
^{b}_{a} \,-\,\int\limits_{a}^{b}\,g(x)\,df(x).$$

\vskip .5 cm

{\bf Формула за смяна на променливата.}\index{интегриране!със
смяна на променливата} В сила е следното твърдение:

{\it Нека функцията $f(x)$ е непрекъсната в интервала $\Delta$ .
Нека функцията $\varphi(t)$ притежава непрекъсната първа
производна в интервала $[\alpha , \beta]$ , като стойностите и
принадлежат на $\Delta$ . Да положим $$a \,=\,\varphi(\alpha)
\quad ,\quad b \,=\,\varphi(\beta)\,,$$ и нека $[a,b]\subset
\Delta$. Тогава имаме} $$ \int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx \,=\,
\int\limits_{\alpha}^{\beta}\,f\bc{\varphi(t)} \,d\varphi(t)\,.$$

\medskip

{\bf Забележка.} Функцията $\varphi(t)$ може да взема стойности и
извън интервала $[a,b]$, но, разбира се, не и извън $\Delta$.

\medskip

{\bf Доказателство.} Да означим с $F(x)$ произволна примитивна на
функцията $f(x)$ в интервала $\Delta$ и нека
$\Phi(t)=F(\varphi(t))$ . Тогава от формулата $$\Phi'(t)
\,=\,f(\varphi(t))\,\varphi'(t)$$ следва, че
$$\int\limits_{\alpha}^{\beta}\,f\bc{\varphi(t)}\,
\varphi'(t)\,dt \,=\,\Phi(\beta)\,-\,\Phi(\alpha)
\,=\,F(b)\,-\,F(a) \,=\,\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,dx .$$$\Box$


