\thispagestyle{empty}

{\bf ����������� ������. ����������� �� �����.} �������������
������� �� ����������� �� ����������� �������� �� �������� ������
��� �������� �� �� ������� ����� ������ �� ��������� ���� ��
������. ���� �������� ����� ���� �� �� ������ ������ ��
������������, ����� � ����� �� �������������� �� ��������� ��
�������� ��. ��� �� �� ������� �� ������ ������ �� ����������
������ ��� ���� �� ������ �� ��������� �������������.

%\noindent
%\begin{minipage}{60mm}
%\begin{figure}[h]
%\begin{center}
%\mbox{\epsfig{file=int1.eps}}

%\mbox{�������� ����.}
%\end{center}
%\end{figure}
%\end{minipage}
%\vskip -1cm

���� $f$ � ������������� �������, ���������� � ��������� $[a,b]$;
�� �� �������� �������� �� ������� ������ �� ��������, ���������
�� ��������� ��, ��������� �� ��������� � ������������ ����� ����
������� $a$ � $b$ (��� ����.).

�� �������� �������� �� ��������, �.�. ��������� $[a,b]$, �� �����
���� ����� � ������� �� �������� ����� $x_0,x_1,\ldots,x_n$, ����
$x_0$ ������� � ������� $a$, � $x_n$ - � $b$ . ���� �������� ��
������� �� ����� ���� ���������� �����. ����� �� ��� ����� ��
������� � ������ �� ������� ������������.

�� �������� �� ����� ������������ ����� �� ������ ���������� ��
��������� � ����� ����� $\xi_i$ �� ���������� ��������
$[x_{i-1},x_i]$. ������ ������ �� ���������� ������������ � �����
�� $f(\xi_i)\,(x_i-x_{i-1})$, � ������ �� ��������, ��������� ��
������ �������������, �� �������� ���� �������� �� ������
��������� �� ���� ��� ��� $i=1,2,\ldots,n$.

���������� ���� �, �� ������� ��-����� �� ��������� �� �����������
$[x_{i-1},x_i]$ , ������� ������ ���� ������ �� ��������� ��
�������� ������, � ������� ���� - �� ��������� �� ��� ����.

\vskip .2 cm

�� �������� ��� ������� �����������. ����� ������ ������� �� �����
$x_0,x_1,\ldots,x_n$ ������, �� $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ ��
�������� ��������� ��
��������� $[a,b]$. ������������ �� ���������� ���������� � $\tau$,
� �������, ���������� ����������� �� �������� \underline{������}
�����. ��� \underline{��������} �� �����������
\index{���������!�������� ��} $\tau$ �� ��������� �������: $$d(
\tau) \,=\,\max\limits_{1\leq i \leq n}\,(x_i-x_{i-1}).$$ ���
����� �� ����������� $[x_{i-1},x_i]$ �� ������ ���������
$\tau:\,a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ �� ������� ����� $\xi_i \in
[x_{i-1},x_n]$. ������� $\xi_1,\ldots\xi_n$ ��������
\underline{��������} ����� \index{���������!�������� ����� ��} ��
����������� $\tau$.

\underline{���������� ����}\index{�������� ����} �� ���������
$f(x)$, ��������������� �� ����������� $\tau$ �� ��������� $[a,b]$
� ��������� �������� ����� $\r{\xi_i}_{i=1}^{n}$, �� �������� �
���������: $$R(f,\tau,\r{\xi_i}_{i=1}^{n})\,=\,\sum\limits_{i=1}^n
\, f(\xi_i)\,(x_i-x_{i-1}).$$

�� ������� �������� �� ��������, �� ������ ��������� � ������ ��
���������� ����� �� ����� ��������� ��������� $\tau$ �� ���������
$[a,b]$ ������������ ��������� ����� �������� ����. ����� (������
������� �� ���������� ����� �� � �� ��������) ���������� ���� ��
���������� �� �������� � $R_{\tau}(f)$, � ������ ���� �������� ��
������������� - ������ � $R_{\tau}$.
 \vskip .2 cm

{\bf ����������� �� ����� �� ��������. }\index{���������
��������!��������� �� �����}{\it �� �������, �� ������� $I$ �
������� �� ���������� ���� $R_{\tau}$ �� $f$ � $[a,b]$ ��� $d(
\tau) \to 0$ (��������� $I=\lim_{d( \tau) \to 0}R_{\tau}$), ��� ��
����� $\ep >0$ ���������� $\delta >0$ ������, �� �� �����
���������  $\tau $ �� $[a,b]$ � �������� $d( \tau) <\delta$ ,
����� $$\m{R_{\tau}-I}\,<\,\ep$$ (��� ���������� ����� ��
���������� �����).

����� ������� $f$, �� ����� ���������� ���� ������������ �������
�� ���������� ����, �� �������� \underline{����������}
\index{�������!����������}� ��������� $[a,b]$. ��������� $I$ ��
������ \underline{���������} \underline{��������} \index{���������
��������}�� ��������� $f$ � ��������� $[a,b]$ � �� ������ � $$I
\,=\,\int\limits_a^b\,f(x)\,dx.\ \ \ \ \ \mbox{\it ( �����:
�������� �� $a$ �� $b$ ��}\ f\bc{x}\ dx\mbox{ )}.$$ }

 %\noindent
%\begin{minipage}{60mm}
%\begin{floatingfigure}[l]{6.5cm}
%\begin{center}
%\mbox{\epsfig{file=int2.eps}} \mbox{ ����������� ����}
%\end{center}
%\end{floatingfigure}
%\end{minipage}

{\bf ����������� ����.}\index{����������� ����} �������, �� ������
$f(x)$ � �������������, ������������� ������ �� �����������
�������� �� $f$ �� ���� �� ������ �� ��������, �������� �� ���
������� �������. ����� ������ ���� �� ���� ������������� ��
���������� �����.

����� �� ���������� ���� ����� �� ������������� ��������, � �����
��������� � ����������� � �� ������ ����������� ���� ��� ����
����, � ��� ��� �� �������� ��� ���� ����� ������, �������� �� ���
��������� ��, �.�. ���������� �� ����������, � ����� ��������� �
�����������. ���������� ����� �� ������ \underline{ �����������
����} \index{����������� ����} �� ��������, ��������� �� ���������
�� � ��������� �� ���������. ����� �� ����������, �� ����������
���� �� $f$ ����� ������������� �������� �� ���� ����� �
������������ ������������� ���� ������������ �����������
������������� �� ����������� �������� � ����� ������.

\vskip .5 cm

{\bf ����������� �� �����. }��� ���� � ������ ������
��������������� �� ����������� � ����������� �� ����� �
�������������, ��� �� ����� ������������ ��������� �� ���������
��������� ��������.

���� �����������, �� ��������� $f(x)$ � ���������� � ���������
$[a,b]$ � ���� � �������� ���������
$\tau:\,a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ �� ���� ��������. �� ������� �
$M_i$ , ��������� � $m_i$ , ������� ����� � ������� ����� �������
�� ����������� �� $f(x)$ � ��������� $[x_{i-1},x_n]$ . ��
���������� ��������: $$S_{\tau} \,=\,\sum\limits_{i=1}^n
\,M_i\,(x_i-x_{i-1}),$$ $$s_{\tau} \,=\,\sum\limits_{i=1}^n
\,m_i\,(x_i-x_{i-1}),$$ ����� �� �������� ��������� ������ � �����
���� �� �����, ��������������� ��
����������� $\tau$ . �� ������� �������� �� ��������, �� �� �����
��������� $\tau$ ������������ ����� ���� ������ � ���� ����� ����
�� �����, �� ������� �� ���������� ����, ����� �� ��������� �����.
��� ���� $$ s_{\tau} \,\leq \,R_{\tau}\, \leq \,S_{\tau} \,,$$
���������� �� ������ �� ���������� �����, ���������� ���
������������ �� $R_{\tau}.$

\vskip .2 cm

{\bf ��������.} �� ��������� ����� ����� �� ��� �������� �� ������
�� �����.

�� �������, �� ����������� $\tau'$ \underline{������} �����������
$\tau $, (�� ��������� $\tau' \succ \tau$ ) , ��� �������� �����
�� $\tau$ �� ������ ����� � �� $\tau'$ .

\vskip .2 cm

{\bf �������� 1. }{\it Ako $\tau'$ ������ $\tau$ , �� �� � ����
�������������} $$s_{\tau} \,\leq\,s_{\tau'}\qquad,\qquad
S_{\tau}\,\geq\,S_{\tau'}\,.$$

{\bf �������������.} ������ �� �������, �� ��� �������� �� ����
������ ����� ������� ���� �� ����� �� ���������, � �������� - ��
������\footnote{�������� �� �������� �������, �� ������� ����
������, � �������� ���������, ������ �������� ���� ������ �����}.
���������� � �� �� �������� ������, ������ $\tau'$ �� �������� ��
$\tau$ ���� �������� �� ���� ������ �����. ���� ������� �
$x_0,x_1,\ldots,x_n$ �������� ����� �� $\tau$ � ���� $\tau'$ ��
������� ����� ��� � ��� ���� ������ ����� $x'$ , ������ �
��������� $(x_{i-1} , x_i)$.

�� ������� � $M'$ � $M'' $ ������� ����� ������� �� $f(x)$
��������� � ����������� $[x_{i-1},x']$ � $[x',x_i]$ . ��������
������� $M'$ � $M''$ �� ���������� $M_i$ . �� ������� �������� ��
$S_{\tau}$ � $S_{\tau'}$ . ���� �, �� $S_{\tau'}$ �� �������� ��
$S_{\tau}$ , ���� ����������� $M_i\,(x_i-x_{i-1})$ �� ������ � ���
���� ��������� $M'(x'-x_{i-1})\,+\,M''(x_i-x')$ . ����� �����
$$M'(x'-x_{i-1})\,+\,M''(x_i-x')\,\leq\,M_i(x'-x_{i-1})\,+\,M_i(x_i
-x') \,=\,M_i(x_i-x_{i-1})$$ � ������������
$S_{\tau}\,\geq\,S_{\tau'}$. ������������� �� ������� ���� ��
����� �� ������� ����������.$\Box$

\vskip .2 cm

{\bf �������� 2.} {\it ����� ����� ���� �� ����� �� ��������� ���
�� � ������ ����.}

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} ���� $\tau_1$ � $\tau_2$ �� ��� ���������� ��
��������� $[a,b]$ . �� �������, �� $s_{\tau_1} \,\leq\,S_{\tau_2}$
. ��������, �� ������� � $\tau_3$ �����������, ���������� ��
������ ������ ����� �� $\tau_1$ � $\tau_2$ . ������ ����� $\tau_3
\succ \tau_1$ � $\tau_3 \succ \tau_2$ . ������������ �� �������� 1
����������: $$s_{\tau_1}\,\leq\,s_{\tau_3}\,\leq\,
S_{\tau_3}\,\leq\,S_{\tau_2}\,.  \qquad \Box$$

�� �������� 2. ������, �� �������� � ������� ���� �� ����� ��
������ ������� ��������� ���������� ���������.

\vskip .5 cm

 �� �������  � $\underline{I}$ ������� ����� ������� �� ������
����� ���� �� ����� , � � $\overline{I} $ - ������� ����� �������
�� ������ ������ ���� �� ����� �� ��������� $f$ � ���������
$[a,b]$: $$\underline{I} \,=\,\sup\limits_{\tau}\,s_{\tau}
\qquad,\qquad \overline{I} \,=\,\inf\limits_{\tau}\,S_{\tau}\, $$
�� ������������� ���������� $\tau$ �� ��������� $[a,b]$. �������
$\underline{I}$ � $ \overline{I}$ �� ������� ���������
\underline{����� � �����} �������� �� $f$ � $[a,b]$. �� �������� 2
�������� ������ �������������
$$\underline{I}\,\leq\,\overline{I}\,.$$

{\bf ����������� �� ����� �� ��������.}\index{���������
��������!��������� �� �����} {\it ������������ ������� $f$ ��
������ \underline{����������}, ��� ������� � ������� � ��������
�������� ������� ��. ������� ���� �������� �� ������ ���������
�������� �� $f$ � ��������� $[a,b]$.}

\vskip .5 cm

���� ������� ������������ �� ����������� �� ����� �, �� ��� ���
��-����� �� ��������� ���� ������ ������� � ����������. ��-�����,
�������� � ��������:

{\bf �������� �� �����. }\index{�������� �� ������������!��
�����}{\it ��������� $f(x)$ � ���������� � $ [a,b]$ ������ � ����
������, ������ �� ����� $\ep>0$ ����������� ���������� $\tau_1$,
$\tau_2$ �� ��������� $ [a,b]$ ������, �� $$
S_{\tau_1}\,-\,s_{\tau_2}\,<\,\ep \,.$$ }

{\bf �������������.} ��� ������� ������� � ���������, �� ��
������������� $$s_{\tau_2}\,\leq\,\underline{I}\,\leq\,
\overline{I}\,\leq\, S_{ \tau_1}$$
 ������, �� $ \overline{I} - \underline{I} < \ep$ ��
����� $\ep>0$. ������������ $ \overline{I} = \underline{I} $ .

�������, ���� $f$ � ���������� � $\ep>0$. �� ������������� ��
����� ����� � ����� ����� ������� ������, �� ����� �� �� �������
���������� $ \tau_1$ , $\tau_2$ , ���� ��
$$s_{\tau_2}\,>\,\underline{I}-\frac{\ep}{2}\quad,\quad S_{\tau_1}
\,<\,\overline{I}-\frac{\ep}{2}\,,$$
 ��������, ����������� ��
$\underline{I}\,=\, \overline{I}$, ������� ����������
������������� � ���������. $\Box$

\vskip .2 cm

{\bf ���������.} ����� �� �����, �� ����� �� �������, �� $\tau_1 =
\tau_2$. ��������, ��� $\tau$ ������ $\tau_1$ � $\tau_2$, �� $
S_{\tau}-  s_{\tau} \leq S_{\tau_1}- s_{\tau_2}$. � ���� ������
������������� �� ��������� �� ������� ��� ����
$$\sum\limits_{i=1}^n \,(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \,<\,\ep\,.$$ �����
�� ��������� (��������� ����!) ��, ��������� $M_i-m_i$ � �����
����������� $\omega_i=\omega(f,[x_{i-1},x_i])$ �� ��������� $f$ �
��������� $[x_{i-1},x_i]$, ����� �� ��������� �� �������
������������� � ���� $$ \sum\limits_{i=1}^n
\,\omega_i(x_i-x_{i-1}) \,<\,\ep\,.$$ \vskip .5 cm

{\bf ���������.} {\it ���� � ������������ �� ���������� �������
���� � ���������� �������.}


\medskip

{\bf ������� ���������� �������. } ������������ ��������� ��-����
�������� �� �����, ��� �� ������� ������� ���������� ������� ��
������������ �� �������. \footnote{ ����� �� ������� � ���� ��
���������, ������������� �� ������������ �� ����� � ����� ��
������������.}

\vskip .2 cm

{\bf 1.} {\it ����� �������, ������������ � ��������� $ [a,b]$ , �
���������� � ����.}

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} ����� �����, ��� ��������� $f$ � ������������
� ��������� $[a,b]$ , �� �� � ���������� ������������ � ����
�������� � �� ��� � � ���� ��������� �� ����������� (��������� 6
�� 1.11). �� ��������� $\ep>0$ ���������� � �� ������� $\delta
>0 $ ������, �� ����������� �� $f$ ��� ����� ����������� ��
$[a,b]$ � ������� ��-����� �� $\delta$ �� ���� ��-����� ��
$\dfrac{\ep}{b-a}\,.$ ���� �� ����� ���������
$\tau:a=x_0<\ldots<x_n=b$ � �������� $d(\tau)<\delta$ �� �����
$\omega_i=\omega(f,[x_{i-1},x_i])\,<\,\dfrac{\ep}{b-a}\,,$
�������� $$S_{\tau} \,-\,s_{\tau} \,=\,\sum\limits_{i=1}^n
\,\omega_i(x_i-x_{i-1})\,<\,\dfrac{\ep}{b-a} \,\sum\limits_{i=1}^n
\,(x_i-x_{i-1}) \,=\,\ep .$$ ����������� ���� ������ �������� ��
�������� �� �����.$\Box$

\vskip .5 cm

{\bf 2.}\footnote{ ���������� ����� �� ���� �� ��������� ���� ��
���� ��������� ��� ����� ������.} {\it ����� ���������� �������,
������������ ��������� � ��������� $[a,b]$, ����� � ����� ����
�����, � ���������� � ����.}

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} ���� $y_1,\ldots\,y_k$ �� ������� ��
���������� �� ��������� $f(x)$ , �  $\ep$ � ���������� �����������
�����. �� ���������� �����������
$$(y_1-\ep,y_1+\ep),\ldots,(y_k-\ep,y_k+\ep)$$ � �� ������� � $W$
������� ����������. ����� �� �������, �� $\ep$ � ������� �������
�����, �� ���� ��������� �� �� �������� ������� ��.\footnote{
����� �� �����, �� ���� � ��������� ���
$\ep<\frac{1}{2}\min\limits_{i=1,\ldots,k-1}\m{y_{i+1}-y_i}\,.$}
����������� $[a,b]\setminus W$ �� ��������� ���� ���������� ��
����� ���� ��������� ��������� $\Delta_1,\ldots,\Delta_s$ , ���
����� �� ����� ��������� � ������������.

�� ��������� �� ����������� ������, �� ����� �� �������� �� ����
��� ����� �� ����������� �� $[a,b]\setminus W$ �� ������������
������, �� ����������� �� $f(x)$ ��� ����� �� ��� �� � ��-����� ��
$ \ep$ . ���� ������� ��� ��� � ����������� �� $W$ , ����������
��������� �� ��������� $[a,b]$, ����� �� ������� � $\tau$, �
�������� �� ����� - � $x_0,x_1,\ldots,x_n$. �����: $$S_{\tau}
\,-\,s_{\tau} \,=\,\sum\limits_{i=1}^n \,\omega_i(x_i-x_{i-1})
\,=\,\sum\nolimits' \,\omega_i(x_i-x_{i-1}) \,+\,\sum\nolimits''
\,\omega_i(x_i-x_{i-1}), $$ ������ ���������� � $\sum'$ ��
�������� �� ����������� �� $W$, � ���� � $\sum''$ - �� �����������
�� $[a,b]\setminus W$ . �� ������� � $m$ � $M$ ��������� ����
����� � ���� ����� ������� �� $f(x)$ � $[a,b]$.  ������
$$\sum\nolimits' \,\omega_i(x_i-x_{i-1}) \,\leq\,(M-m)
\sum\nolimits' \,(x_i-x_{i-1}) \,\leq\,(M-m).2k\ep.$$ ������� ����
�� ������� �� �����, ���������� �� ������������ � ��������
���������: $$\sum\nolimits''\,\omega_i(x_i-x_{i-1}) \,\leq\,\ep
\,\sum\nolimits'' \,(x_i-x_{i-1}) \,\leq\,\ep (b-a).$$

� �������� ������ ����������: $$S_{\tau}
\,-\,s_{\tau}\,\leq\,\bc{2k(M-m)+(b-a)}\,\ep.$$

��� ���� ���������� ���� $\ep$ � ��������� (�� �������� �� $\ep$),
�� ������� ������� ���� �� ���� ��������� ���������� ����� �
��������� �� ����� � ������������. $\Box$

\vskip .5 cm

{\bf 3.} {\it ����� ��������� ������� � ����������.}

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} �� �����������, �� $f(x)$ � ��������
��������� �������. ���� $\ep$ � ���������� ����������� ����� �
$\delta= \dfrac{\ep}{f(b)-f(a)}$ . ���� $\tau$ � ����������
��������� � ������ ����� $x_0,x_1,\ldots,x_n$ � ��������, ��-�����
�� $\delta$ . ������ �������� $M_i=f(x_i)$ , $m_i=f(x_{i-1})$ �
$$S_{\tau} \,-\,s_{\tau} \,=\,\sum\limits_{i=1}^n \,(M_i-m_i)
(x_i-x_{i-1}) \,\leq$$ $$\leq\,\delta\,\sum \bc{f(x_i)-f(x_{i-1})}
\,=\,\delta\,\bc{f(b)-f(a)} \,=\,\ep \,,$$ ����� �������
�����������. $\Box$


\vskip .5 cm

{\bf �������������� �� ����������� �� ����� � �����.} �� �� �����
���������� ��� �������  ���������:

\vskip .5 cm

{\bf ���� 1. }{\it ���� $M$ � $m$ �� ��������� ������� ����� �
������� ����� ������� �� ��������� $f(x)$ � ��������� $[a,b]$ .
���� $\tau_1$ � $\tau_2$ �� ��� ���������� �� ���� ��������, ����
$\tau_2$ �� �������� �� $\tau_1$ ���� �������� �� $k$ ���� ������
�����. ������ �� ����������� ���� �� ����� �� ���������
�������������:}
$$S_{\tau_1}\,-\,S_{\tau_2}\,\leq\,k(M-m)\,d(\tau_1) \quad,\quad
s_{\tau_2}\,-\,s_{\tau_1}\,\leq\,k(M-m)\,d(\tau_1).$$

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} ���������� � �� �� �������� �������, ������
$\tau_2$ �� �������� �� $\tau_1$ ���� �������� �� $1$ ������ �����
- ������ ������ ���� �� ���� �������, ���� �� ������� $k$ ����
���������� ���������. ���� �����������, �� ������ ������ �����
$x'$ �� ������ � ��������� $(x_{i-1},x_i)$ , � �� ������� � $M'$ ,
$M''$ ������� ����� ������� �� $f(x)$ ��������� � �����������
$[x_{i-1},x']$ � $[x',x_i]$ . ������ �����:
$$S_{\tau_1}\,-\,S_{\tau_2}\,\leq\,(M_i-M')(x'-x_{i-1})+
(M_i-M'')(x_i-x')\,\leq$$
$$\leq\,(M-m)(x'-x_{i-1})+(M-m)(x_i-x')\,=$$
$$=\,(M-m)(x_i-x_{i-1})\,\leq\,(M-m)\,d (\tau_1),$$ � �����
����������� �� �������� ���� � ��������. �� ������� ���� �� ��
������� ����������. $\Box$

\vskip .5 cm


{\bf ���� 2. (���� �� �����)}\index{����!�� �����} {\it ���������
�� �����������:} $$\overline{I} \,=\,\lim_{d(\tau) \to
0}S_{\tau}\quad, \quad \underline{I} \,=\,\lim_{d( \tau) \to
0}s_{\tau}.$$ (��������� ���
 $d( \tau) \to 0$ �� �������� �� ����� �����, ����� ��� ����������� �� ����� ��
��������).

\vskip .2 cm

{\bf �������������.} �� ������� ����������� �� �������� ���� ��
�����. �� ������� �� �� ������� ����������. �� ����������� ��
$\overline{I}$ �� ��������� $\ep>0$ ���� �� �� ������ ���������
$\tau_0$ �� ��������� $[a,b]$ � ������ ����� $x_0,\ldots,x_k$ ,
���� �� $$S_{\tau_0}\,<\,\overline{I} \,+\, \frac{\ep}{2}\,.$$

�� ������� $\delta=\dfrac{\ep}{2k(M-m)}\,,$ ������ $M$ � $ m$ ��
���� � ���� 1. ���� $\tau$ � ���������� ��������� � ��������,
��-����� �� $\delta$. �� ������� � $\tau_1$ �����������,
���������� �� �������� ����� �� $\tau$ � $\tau_0$. �� ���� 1
�����: $$S_{\tau}\,-\,S_{\tau_1}\,\leq\,k(M-m)\,d(\tau) \,<\,
\frac{\ep}{2}\,.$$

��� ���� $S_{\tau_1}\,\leq\,S_{\tau_0}$ �� �������� 1 �� ������ ��
�����, �� $ S_{\tau_1}-\overline{I}< \dfrac{\ep}{2}$ �
������������ $$S_{\tau}\,-\,\overline{I}
\,=\,S_{\tau}\,-\,S_{\tau_1} \,+\,
S_{\tau_1}-\overline{I}\,\leq\,\frac{\ep}{2} \,+\, \frac{\ep}{2}
\,=\,\ep.\,\Box$$

\vskip .5 cm

���� ��� � ��������� �� ������� �������� �������� �� ���� ������:

{\bf �������. }{\it ���� ������� � ���������� �� ����������� ��
����� ������ � ���� ������, ������ � ���������� �� ����������� ��
�����. ��� ���� ����� ��������� ����� ���� � ���� �������� ��
���������.}

\vskip .2 cm

{\bf �������������. 1)} �� ��������, �� ��������� $f(x)$ �
���������� � ��������� $[a,b]$ ������ ������������� �� �����. ��
��������� $\ep>0$ � �� ������� $\delta>0$ ������, �� ��� �����
��������� $\tau$ � $d(\tau)<\delta$ �� ����� �� ���������� ����
$R_{\tau}$ �� ���� ��������� $$\m{I\,-\,R_{\tau}}\,<\,\ep$$
���������� �� ������ �� ���������� �����.

���� ���� �������� ����� �� ��������� ��������� $\tau$ �
$d(\tau)<\delta$ ��  $x_0,x_1,\ldots,x_n\,.$ ������ �������
����������� �� ���� ��������� ��� ����� ����� �� ���������� �����
$\xi_1,\ldots\xi_n$ .

%����� �� ���������, ��

%$$S_{\tau} \,=\,\sup\limits_{\{\xi_i}\}\,R_{\tau} \qquad,\qquad
%\s_{\tau} \,=\,\inf\limits_{\{\xi_i}\}\,R_{\tau}\,. $$

%�� �� ������� ������� ��������� � ���������� �� ������� �� �����
%$i=1,\idots,n$ ������ $\{\xi_i^k\} \subset [x_{i-1}, x_i]$ ������,
%�� $lim_{k\rightarrow\infty}f(\xi_i^k)= M_i=\sup_{x\in
%[x_{i-1},x_i]}f(x)$ � � $R(f,\tau,\r{\xi_i^k}_{i=1}^{n})$ ��
%������� $k$ �� ����� ��� $\infty$. ������� ��������� �� ��������
%����������.
�� ������� ����� �� ����������� $f(\xi_i)$ �� ����� ���-������ ���
������� ����� ������� $M_i$, � ���� ���� ��� ������� ����� �������
$m_i$ �� $f(x)$ � ��������� $[x_{i-1},x_i]$ . ������ ���� ��������
������ � ������� ����������� �����\footnote{ � ��������, �� ��� ��
�����, �� $f(x)$ � ���������� ��� ����� ����������� �� �����������
$\tau$ � ������������ � ����� �������� $[a,b]$.}:
$$\m{I\,-\,\sum\limits_{i=1}^n \, M_i\,(x_i-x_{i-1})}\,\leq\,\ep
\quad,\quad \m{I\,-\,\sum\limits_{i=1}^n \,
m_i\,(x_i-x_{i-1})}\,\leq\,\ep\,.$$

����� ����������:
$$I-\ep\,\leq\,s_{\tau}\,\leq\,\underline{I}\,\leq\,\overline{I}
\,\leq\,S_{\tau}\,\leq\,I+\ep\,.$$

��� ���� $\ep$ � ����������, �� ����� ������, �� $\underline{I}=
\overline{I}=I$ .

\vskip .2 cm

{\bf 2)} ���� �� ������� ��������� ��������� - �� �� ������������
�� ������������� �� ����� ������ ������������ ������ �������������
�� �����. �������� �� ����� ��������� $\tau$ �� � ����
�������������: $$s_{\tau}\,\leq\,R_{\tau}\,\leq\,S_{\tau}\,,$$
����� � �� �������� ���������� ����� � ������ �� $R_{\tau}$ . ��
���� 2 �� ����� $\ep>0$ ���������� $\delta>0$ , ���� �� ���
$d(\tau)<\delta $ �� �����
$$\underline{I}-\ep\,<\,s_{\tau}\,\leq\,S_{\tau}\,<\,
\overline{I}+\ep\,.$$

��� ������������� ������� � ���������� �� ����� � ������� � $I$
������ �������� �� $\overline{I}$ � $\underline{I}$ , �� ���
$d(\tau)<\delta $ ����� $\m{R_{\tau}-I}<\ep$.$\Box$
