


{\bf Формула на Тейлор за полиноми.} Отначало ще разгледаме
случая, когато първоначално зададената функция е полином от ред
$n$ , т.е. има вида:

$$
p(x)\,=\,a_0 \,+\, a_1x \,+\, a_2x^2 \,+\, \ldots \,+\,
a_nx^n.
$$
Като извършим $n$ последователни диференцирания,
получаваме:

\begin{eqnarray*}
p'(x)\,&=&\,a_1 \,+\, 2a_2x \,+\, 3a_3x^2 \,+\, \ldots \,+\,
na_nx^{n-1},\\ p''(x)\,&=&\,1.2a_2 \,+\, 2.3a_3x \,+\,  \ldots
\,+\, (n-1)na_nx^{n-2},\\ p'''(x)\,&=&\,1.2.3a_3 \,+\, 2.3.4a_4x
\,+\, \ldots \,+\, (n-2)(n-1)na_nx^{n-3},\\ \ldots \ldots & & \\
p^{(n)}(x)\,&=&\,1.2.3 \ldots n.a_n.
\end{eqnarray*}

Полагайки във всички горни равенства $x=0$ получаваме, че

$$
a_k \,=\, \f{p^{(k)}(0)}{k!} \qquad , \qquad k
\,=\,0,\ldots,n
$$
(където, както обикновено, полагаме
$p^{(0)}(x)=p(x)$ и $0!=1$ ).

Горните равенства позволяват полиномът да бъде записан във вида:

$$
p(x) \,=\,\sum\limits_{k=0}^n \f{p^{(k)}(0)}{k!}\,x^k.
$$

Да фиксираме реалното число $a$ . Сега ние ще заменим развитието
на $p(x)$ по степени на $x$ с развитие по степените на $x-a$ . За
тази цел да положим $x-a=y$ , т.е. да разгледаме помощния полином
$ q(y) \,=\,p(a+y)$. Нека полиномът $q$ да има вида:

$$
q(y)\,=\,b_0 \,+\, b_1y \,+\, b_2y^2 \,+\, \ldots \,+\,
b_ny^n.
$$

Като използуваме изведените по-горе формули, получаваме за коефициентите $b_k$ равенствата:

$$
b_k \,=\, \f{q^{(k)}(0)}{k!} \qquad , \qquad k
\,=\,0,\ldots,n.
$$

Лесно се доказва (индуктивно), че при всяко естествено $k$ имаме:

$$
q^{(k)}(y) \,=\,p^{(k)}(a+y),
$$
откъдето

$$
b_k \,=\, \frac{p^{(k)}(a)}{k!}.
$$

Нека сега в представянето на $q(y)$ заместим коефициентите $b_k$ с
техните равни и променливата $y$ с $x-a$. Като вземем пред вид, че
$q(x-a) \,=\,p(x)$ , получаваме:

$$
p(x) \,=\,\sum\limits_{k=0}^n \f{p^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k
$$
или, в развит вид

$$
p(x) \,=\, p(a) \,+\, \f{p'(a)}{1!}(x-a)
\,+\,\f{p''(a)}{2!}(x-a)^2 \,+\,\ldots
\,+\,\f{p^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n .
$$


{\bf Полиноми на Тейлор за $n$ - кратно диференцируема функция.
Ред на Тейлор.} Нека функцията $f$ e $n$ - кратно диференцируема в
точката $a$ от дефиниционната си област. Това означава, че $a$ е
вътрешна точка за дефиниционната област, нейните производни до ред
\, $n-1$ включително съществуват в някаква околност на $a$ , а
$n$ - та производна на $f$ е диференцируема в точката $a$ .
Тогава по аналогия с формулата от предния пункт ще дефинираме
полинома

$$ T_n(x) \,=\,\sum\limits_{k=0}^n \f{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k
\,=\,f(a) \,+\, \f{f'(a)}{1!}(x-a) \,+\,\ldots
\,+\,\f{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n .$$

$T_n(x)$ се нарича полином на Тейлор  от ред $n$ за
функцията $f(x)$ в точката $a$. \index{полином на Тейлор от ред
$n$}

Лесно се вижда, че ако функцията $f$ има в точката производни от
произволен ред, то полиномите на Тейлор могат да бъдат разглеждани
като частични суми на безкрайният ред:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \f{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k\,,$$
който се нарича ред на Тейлор на функцията $f(x)$
около точката $a$ . Да отбележим,
че този ред може да бъде и разходящ. 

\vskip .5 cm

{\bf Лема 1.}  {\it $T_n$ е единственият полином от степен $n$ ,
чиито производни в точката $a$ до ред  $n$ включително съвпадат
със съответните производни на $f$ в тази точка.}

\vskip .5 cm

{\bf Доказателство.} Равенствата $T^{(k)}_n(a)=f^{(k)}(a)$,
$k=0,1,\ldots,n$ \, се проверяват, като диференцираме $T_n(x)$
последователно $k$ пъти и положим в получените равенства $x=a$.
Обратно, ако $p(x)$ е полином от степен $n$ , удовлетворяващ
условието на лемата, то, прилагайки за него формулата на Тейлор за
полиноми, ще получим, че той съвпада с $T_n(x)$.

\vskip .5 cm

За да се оцени колко се отличават стойностите на полиномите на
Тейлор в дадена точка $x$ от стойността на функцията в тази точка,
се въвежда величината

$$R_n(x) \,=\,f(x) \,-\,T_n(x), $$ наречена остатъчен
член. Тогава можем да
напишем формулата

$$f(x)\,=\,\sum\limits_{k=0}^n \f{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k \,+\,
R_n(x), $$ наричана обикновено формула на Тейлор. Очевидно
остатъчният член $R_n(x)$ представлява грешката във формулата $
f(x)\approx T_n(x).$ Ето защо формулата на Тейлор би добила
съдържание само, ако имаме израз или оценка за остатъчния член
$R_n(x)$. Ние ще посочим различни изрази за него, които водят и до
различни варианти на формулата на Тейлор.


\vskip .5 cm

{\bf Формули на Лагранж и на Коши за остатъчния член.}

Нека предположим, че функцията $f(x)$ притежава производни до ред
$n+1$ включително в някаква околност на точката $a$.  Да фиксираме точка $x$ от
тази околност и да разгледаме в затворения интервал, определен от
точките $a$ и $x$, помощната функция

$$ \varphi(t) \,=\\ f(x)\,-\,\bc{\sum\limits_{k=0}^n
\f{f^{(k)}(t)}{k!}\,(x-t)^k} =$$ $$=f(x)\,-\,f(t) \,-\,
\f{f'(t)}{1!}(x-t) \,-\,\ldots \,-\,\f{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n. $$
Вижда се, че горната формула наподобява израза за $R_n(x)$ , в
който константата $a$ е заместена с променливата $t$. Оттук
получаваме: $$ \varphi(a) \,=\,R_n(x)\qquad \mbox{ и }\qquad
\varphi(x) \,=\,0\,. $$

Диференцирайки функцията $\varphi(t)$, имаме:
\begin{eqnarray*}
\varphi'(t)\,=\,-\,f'(t)&\,-\,&\biggl(
\,\frac{f''(t)}{1!}(x-t)\,-\,f'(t)\biggr)\,- \\
&\,-\,&\biggl(\,\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2\,-\,\frac{f''(t)}{1!}(x-t)\biggr)\,-
\\
&\,-\,&\biggl(\,\frac{f^{IV}(t)}{3!}(x-t)^3\,-\,\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2\biggr)\,-
\\ &\,-\,&\ldots\ldots \\
&\,-\,&\biggl(\,\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,-\,\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}\biggr).
\end{eqnarray*}
Всички събираеми, освен последното, се срещат в тази сума по два
пъти с противоположни знаци. Следователно

$$ \varphi'(t)\,=\,-\,\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \,. $$

Да положим $\psi(t)\,=\,(x-t)^p$, където $p$ е естествено число,
което ще изберем допълнително. За двете функции $\varphi(t)$ и
$\psi(t)$ ще приложим обобщената теорема за крайните нараствания в
интервала $[a,x]$. Виждаме, че в интервала $(a,x)$ съществува точка $\xi$ ,
за която е изпълнено:

$$ \frac{\varphi(a)\,-\,\varphi(x)}{\psi(a)\,-\,\psi(x)} \,=\,
\frac{\varphi'(\xi)}{\psi'(\xi)}\,, $$
откъдето, използувайки
стойностите на $\varphi(a)$ и $\varphi(x)$, и израза за
$\varphi'$, намерени по-горе, получаваме:

$$ R_n(x)\,=\,\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n
.\frac{\psi(a)-\psi(x)}{\psi'(\xi)}
\,=\,\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!p}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^p \,. $$

Тази обща форма на остатъчния член се нарича форма на
Шлемилх и Рош. Понякога тя се записва и по друг начин.
Да означим

$$ \theta = \frac{\xi-a}{x-a} \,. $$
Очевидно $\theta$ лежи в
интервала $(0,1)$ . Имаме

$$
\xi=a+\theta(x-a)\qquad , \qquad x-\xi=(1-\theta)(x-a)
$$
и
формулата добива вида:

$$ R_n(x)
\,=\,\frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{n!p}(1-\theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1}\,.
$$

\vskip .5 cm

Обикновено се използуват два частни случая на горната формула,
които ние ще отбележим специално. Да положим $p=n+1$. Получаваме:

\vskip .5 cm

{\bf Формула на Лагранж за остатъчния член.\index{остатъчен член
във ф-та на Тейлор!формула на Лагранж за}} {\it Нека функцията
$f(x)$ притежава производни до ред $n+1$ включително в някаква
околност на точката $a$ и $x$ е точка от тази околност. Тогава в
интервала $(a,x)((x,a))$ съществува точка $\xi$ , за която е в
сила равенството

$$ R_n(x) \,=\,\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\,.
 $$ }

\vskip .5 cm

Това е най-често употребяваната форма на остатъчния член. При нея
формулата на Тейлор добива вида:

$$
 f(x)\,=\,f(a) \,+\, \f{f'(a)}{1!}(x-a) \,+\,\ldots
\,+\,\f{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \,+\,
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\,. $$

В частност, при $n=0$ получаваме формулата

$$
 f(x) \,=\,f(a) \,+\, f'(\xi)(x-a)\,.
$$

Прехвърляйки $f(a)$ от лявата страна на равенството, виждаме, че
изучената по-рано формула за крайните нараствания представлява
частен случай на формулата на Тейлор.

\vskip .5 cm

Друга често употребявана форма на остатъчния член се получава при
$p=1$ (ние ще я дадем само във формата , в която участвува
$\theta$):

{\bf Формула на Коши за остатъчния член \index{остатъчен член във
ф-та на Тейлор!формула на Коши за}.} {\it При направените по-горе
предположения съществува $\theta \in (0,1)$ , така че

\vskip .5 cm

$$
 R_n(x)
\,=\,\frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{n!}(1-\theta)^{n}(x-a)^{n+1}\,.
$$

}
