

\medskip

{\bf Определение}. {\it Казваме, че функцията $f$ има локален
максимум (локален минимум) в точката $x_0$, ако дефиниционната
област на $f$ съдържа такъв отворен интервал $\Dt\ni x_0$, че
$f\bc{x}\le f\bc{x_0}$ (съответно $f\bc{x}\ge f\bc{x_0}$) за
$x\in\Dt$. Функционалната стойност на $f\bc{x_0}$ наричаме локален
максимум (минимум).}

\medskip

По-нататък за удобство локалните максимуми и локалните минимуми ще
наричаме локални екстремуми\index{локален екстремум (максимум,
минимум)}.

\medskip

{\bf Теорема 1 (Ферма)}. {\it Ако функцията $f$ има локален екстремум в
точката $x_0$ и е диференцируема в $x_0$, то $f'\bc{x_0}=0$.}

\medskip


{\bf Доказателство}. Ако функцията $f$ има локален максимум в
точката $x_0$, то съществува такава околност на $x_0$ от
вида $\oo{x_0-\dt,x_0+\dt}$, $\dt>0$, в която стойностите на $f$
са по-малки от $f\bc{x_0}$. Тогава за $0<h<\dt$ имаме

$$0\ge \f{f\bc{x_0+h}-f\bc{x_0}}{h}\tolim f'\bc{x_0}\ \mbox{ при}\
h\tolim 0,$$ откъдето получаваме $f'\bc{x_0}\le 0$. Аналогично за
$0>h>-\dt$ имаме $$0\le \f{f\bc{x_0+h}-f\bc{x_0}}{h}\tolim
f'\bc{x_0}\ \mbox{ при}\ h\tolim 0,$$ откъдето извеждаме
$f'\bc{x_0}\ge 0$. Следователно $f'\bc{x_0}=0$, което доказва
теоремата в случая, когато имаме локален максимум.

Доказателството в точка на минимум е аналогично.

\medskip

{\bf Теорема 2. (Рол)}\index{теорема!на Рол} {\it Нека функцията
$f$ е дефинирана и непрекъсна\-та в затворения интервал
$\cc{a,b}$, диференцируема в отворения интервал $\oo{a,b}$ и
$f\bc{a}=f\bc{b}$. Тогава съществува такава точка
$\xi\in\oo{a,b}$, че $f'\bc{\xi}=0$.}


\medskip

{\bf Доказателство на теоремата на Рол}. Тъй като по условие
функцията $f$ е непрекъсната в крайния затворен интервал
$\cc{a,b}$, то съгласно теоремата на Вайерщрас тя има най-голяма и
най-малка стойности. Имаме следните възможности:

1) функцията $f$ приема максималната или минималната си стойности в точка
$\xi$, вътрешна за интервала $\cc{a,b}$ (т.е. $\xi\in\cc{a,b}$). Тогава $f$ има
локален екстремум в точката $\xi$ и $f'\bc{\xi}=0$ по теорема 1.

2) функцията $f\bc{x}$ приема максималната и минималната си стойности в точките
$a$ и $b$. Тогава от условието $f\bc{a}=f\bc{b}$ получаваме, че най-голямата и
най-малката стойности на функцията $f$ съвпадат, следователно $f$ е константа и
$f'\bc{x}=0$ за всяко $x\in\oo{a,b}$.
С това теоремата е доказана.

\medskip

{\bf Теорема 3. (за крайните нараствания, на
Лагранж)}\index{теорема!на Лагранж (за крайните нараствания)} Нека
функцията $f$ е непрекъсната в затворения интервал $\cc{a,b}$ и
диференцируема в отворения интервал $\oo{a,b}$. Тогава съществува
такава точка $\xi\in\oo{a,b}$, че
$$f\bc{b}-f\bc{a}=f'\bc{\xi}\bc{b-a} \ \ \ \ \ \ \ \mbox{ (формула
за крайните нараствания)}$$

\medskip

{\bf Доказателство}. Разглеждаме функцията $h\bc{x}=f\bc{x}-kx$,
където константата $k$ е подбрана така, че
$h\bc{a}=f\bc{a}-ka=f\bc{b}-kb=h\bc{b}$, т.е.
$k=\dfrac{f\bc{b}-f\bc{a}}{b-a}$. Очевидно функцията $h\bc{x}$
удовлетворява условията на теоремата на Рол, следователно
съществува такава точка $\xi\in\bc{a,b}$, че
$h'\bc{\xi}=f'\bc{\xi}-k=0$. Оттук получаваме
$k=\dfrac{f\bc{b}-f\bc{a}}{b-a}=f'\bc{\xi}$, което доказва
теоремата.


\medskip

\begin{minipage}{65mm}
\begin{floatingfigure}[l]{65mm}
\begin{center}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{image149.jpg}
\end{center}
\end{floatingfigure}
\end{minipage}	




Геометричен смисъл: Да напишем равенството от теоремата във вида $$\dfrac{f\bc{b}-f\bc{a}}{b-a}=f'\bc{\xi}.$$

Тогава лявата страна на равенството съвпада с ъгловия коефициент
на секущата, минаваща през точките $\bc{a, f(a)}$ и $\bc{b,
f(b)}$, лежащи на графиката на $f \bc{x}$. Според геометричното
тълкуване на производната, дясната страна съвпада
с ъгловия коефициент на допирателната към графиката на $f \bc{x}$,
прекарана в точката  $\bc{\xi, f(\xi)}$. Знаем, че ако две прави
имат еднакви ъглови коефициенти, те са успоредни.\\
Така получаваме
геометричната формулировка на теоремата на Лагранж:

\medskip

{\it Съществува точка в интервала $\bc{a,b}$, допирателната в
която е успоредна на хордата, определена от крайните точки на
интервала.}


\medskip

{\bf Теорема 4. (Обобщена теорема за крайните нараствания, или
теорема на Коши)}{\it Нека функциите $f$ и $g$ са дефинирани
и непрекъснати в затворения интервал $\cc{a,b}$. Предполагаме, че
$f\bc{x}$ и $g\bc{x}$ са диференцируеми в отворения интервал
$\oo{a,b}$ и $g'\bc{x}\ne 0$ за всяко $x\in\oo{a,b}$. Тогава
съществува такава точка $\xi\in\oo{a,b}$, че
$$\f{f\bc{b}-f\bc{a}}{g\bc{b}-g\bc{a}}=\f{f'\bc{\xi}}{g'\bc{\xi}}$$
(обобщена формула за крайните нараствания).}

\medskip

{\bf Доказателство}.  Нека първо да отбележим, че условието $g'\bc{x}\ne 0$ за всяко $x\in\oo{a,b}$
ни гарантира $g\bc{b}-g\bc{a}\ne 0$, тъй като по теоремата за
крайните нараствания имаме
$g\bc{b}-g\bc{a}=g'\bc{\xi_1}\bc{b-a}\ne 0$. 


Прилагаме теоремата на Рол за функцията
$f\bc{x}=f\bc{x}-kg\bc{x}$, където константата $k$ е подбрана
така, че $h\bc{a}=f\bc{a}-kg\bc{a}=f\bc{b}-k g\bc{b}$, т.е.
$k=\dfrac{f\bc{b}-f\bc{a}}{g\bc{b}-g\bc{a}}$. По теоремата на Рол
съществува такава точка $\xi\in\oo{a,b}$, че
\newline $h'\bc{\xi}=f'\bc{\xi}-kg'\bc{\xi}=0$. Оттук получаваме,
че
%\newline
$$k=\dfrac{f\bc{b}-f\bc{a}}{g\bc{b}-g\bc{a}}=\dfrac{f'\bc{\xi}}{g'\bc{\xi}}.\quad
$$


\medskip

По-нататък ще изложим някои непосредствени следствия от теоремата
на Лагранж за крайните нараствания.

\medskip

{\bf Теорема 5}. {\it Нека функцията $f$ е дефинирана и
диференцируема в отворения интервал $\oo{a,b}$. Ако $f'\bc{x}=0$
за всяко $x\in\oo{a,b}$ то $f$ е константа в интервала
$\oo{a,b}$.}

\medskip

{\bf Доказателство}. Фиксираме произволна точка $x_0\in\oo{a,b}$.
По теоремата за крайните нараствания за всяко $x\in\oo{a,b}$ имаме
$$f\bc{x}-f\bc{x_0}=f'\bc{\xi}\bc{x-x_0}=0,$$ следователно
$f\bc{x}=f\bc{x_0}$ за всяко $x\in\oo{a,b}$.

\medskip

{\bf Теорема 6.} {\it Ако функцията $f$ е дефинирана и
диференцируема в отворения интервал $\oo{a,b}$, то тя е монотонно
растяща (намаляваща) в $\oo{a,b}$ тогава и само тогава когато
$f'\bc{x}\ge 0$ ($f'\bc{x}\le 0$) за всяко $x\in\oo{a,b}$.}

\medskip

{\bf Доказателство}. Достатъчно е да разгледаме случая на
монотонно растяща функция, тъй като чрез умножаване с -1
получаваме от монотонно намаляваща функция монотонно растяща и
обратно.

Нека $f$ е монотонно растяща диференцируема функция в интервала
$x\in\oo{a,b}$. Тогава за произволно $x\in\oo{a,b}$ при достатъчно
малки $h>0$ имаме $\f{f\bc{x+h}-f\bc{x}}{h}\ge 0$. Оттук след
граничен преход при $h\tolim 0$ получаваме $f'\bc{x}\ge 0$.
Обратно, нека $f'\bc{x}\ge 0$ за всяко $x\in\oo{a,b}$. Взимаме
произволни точки $x_1,x_2\in\oo{a,b}$ удовлетворяващи $x_1<x_2$.
По теоремата за крайните нараствания съществува такова
$\xi\in\oo{x_1,x_2}$, че
$$f\bc{x_2}-f\bc{x_1}=f'\bc{\xi}\bc{x_2-x_1}\ge 0.$$ Оттук
получаваме $f\bc{x_1}\le f\bc{x_2}$, което доказва, че функцията
$f$ е монотонно растяща. С това теоремата е доказана.

