Лекциите на ФМИ

За да изглеждаме умни пред другите

Начало

Начална страница

Членове на
сайта

Присъедини
се

За автори

Препоръки за писане на
статии

Формат на статиите

Форум

Новини от
форума

Последни
промени

Списък със
задачи

Първи курс

Анализ

ЕАИ

Геометрия

ООП

Втори курс

Структури от Данни

Компютърни Архитектури

КАрх - Практикум

Основи на компютърната
графика

Функционално програмиране

ФП - Практикум

Трети курс

Логическо програмиранеУпражнения

Числени методиУпражнения

Системно
програмиранеУпражнения

Мрежово
програмиранеУпражнения

За
администратори

Create account or Sign in

Начало

Начална страница

Членове на сайта

Присъедини се

За автори

Препоръки за писане на
статии

Формат на статиите

Последни
промени

Панел за
администратори

Лекции

Първи Курс

Анализ

ЕАИ

Геометрия

ООП

Втори курс

Структури от Данни

Компютърни Архитектури

КАрх - Практикум

Основи на компютърната
графика

Функционално програмиране

ФП - Практикум

Трети курс

Логическо програмиранеУпражнения

Числени методиУпражнения

Системно
програмиранеУпражнения

Мрежово
програмиранеУпражнения

Избираеми дисциплини

Математическа Логика

Дискретна Оптимизация

Теория на Множествата

Теория на Графите

Избрани Глави от
Анализа

Гладки криви

Гладки криви

foldunfold

Table of Contents

Видове

Интерполационни

Апроксимационни

Криви на Безие

Примери

Формална дефиниция

Свойства

Употреба

Б-сплайн

Коефициентите

Видове

Често се налага в геометрията по дадени
точки да се построи крива, която минава през или близо до точките, но не е
начупена. Т.е в някава степен е гладка.

Най-често гладките криви се делят на 2 групи:

Интерполационни

Тези криви минават точно през изначално зададените точки. Хубав пример за
това е Полиномът на Лагранж. »някой да сложи картинка«

Апроксимационни

Тези криви не минават точно през зададените точки, но в някакъв смисъл
минават близо до тях. Колко точно близко минават до точки и какви свойства
притежават зависи от вида на кривата. Ще разгледаме Криви на Безие и
Б-сплайн.

Криви на Безие

Примери

Да разгледаме пример за крива на безие по дадени 3 и 4 точки.

Формална дефиниция

Нека е дадено множество от
точки .
Дефинираме следната функция:
(1)

Та, Кривата на Безие (за
точки) се получава, като заместите във формулата
с всяко .

Свойства

Кривата започва от
и завършва в .

Просто заместете във формулата с
и
и ще получите точно това.

Кривата е непрекъсната

Функцията е непрекъсната по всяка от координатите, следователно е
непрекъсната самата крива. »по-подробно обяснение«

Кривата принадлежи на изпъкналата обвивка

Както виждате във формулата участва сума на точките
умножени по някакъв коефициент .
Умножаването и сбора на точка по коефициент е както си го знаем от алгебрата
(т.е по координатно).
Тези коефициенти притежават интересното свойство, че
сумата им е 1, т.е
(2)

Използвахме формулата за развитие на бином от -та
степен с биномни коефициенти.

T.e
е линейна комбинация на точките, сбора от коефициентите пред които е точно 1.
Ако си припомните какво е изпъкнала обвивка, ще видите, че точно това е
дефиницията точка да принадлежи на изпъклата обвивка на дадени точки. Така
получихме, че всички точки
принадлежат на изпъкналата обвивка на даденото множество.

Допирателната към кривата в началото е колинеарна на вектора .
Допирателната към кривата в края е колинеарна на вектора .
Да разпишем производната на функцията

(3)

Сега остава да заместите в производната при :
(4)

Кривите на Безие могат да се изчисляват и рекурентно:

Да разгледаме уравнението на крива на Безие на
точки.
(5)

Което, какво виждате, е коефициент, умножен по формулата за крива на Безие на
първите
точки + коефициент по уравнението на кривата за последните
точки.

Употреба

някой да обясни за какво се използва това и как се е стигнало до неговото
въвеждане във тази му форма «

Б-сплайн

Тези криви доста приличат на кривите на Безие. По дадени
точки в измерение
(обикновенно 2 и 3):
(6)

(7)

Т.е имаме линейна комбинация на точките, като тук коефициентът е записан като
.
Както и при кривите на Безие коефициентът
показва къде по линията ще се намира точката - т.е това е една функция, в която
ако заместим с всяко
ще получим всички точки от кривата.

Ще разбием интервала
на
части : .
Ако частите имат еднаква дължина (т.е )
сплайнът се нарича равномерен.

Коефициентите

Остана да разгледаме най-важното - а именно какви точно са коефициентите във
формулата на Б-сплайн-а. Ще ги дефинираме рекурентно спрямо параметъра ,
който всъщност показва от коя степен е самият сплайн. Най-често се използват
степени 2 и 3, но може и всяка друга. (заб. - при
се получава начупена линия).
(8)

(9)

Формулата изглежда доста сложна, но в интерес на истината … не е. При криви
на Безие всяка една точка от кривата зависеше от всички останали и кривите
ставаха доста размити - губи се пълна представа за това къде са контролните
точки. При Б-сплайн всяка една точка зависи точно от
други (
беше степента на сплайна - т.е колко размазан да бъде). Например при
всяка точка зависи от 2те между които се намира (в начупена линия). При
всяка точка ще зависи от точно 3 други, като по този начин кривите ще се
загладят, защото точките ще 'гледат напред' и в тях ще има информация на къде ще
завие сплайна 'в близко бъдеще'.

Ще докажем, че точките от Б-сплайна лежат в изпъкналата обвивка на
контролните точки (т.е сбора от коефициентите е 1). Нещо повече - тъй като
коефициентите само пред
последователни точки са различни от 0, то Б-сплайна винаги ще лежи в изпъкналата
обвивка на
точки, като при
преминаващо през някое
новите точки ще зависят от следващите
контролни (т.е изпада една стара контролна и влиза една нова).

Твърдение:
(10)

Доказателство:
Да сумираме 2 произволни последователни
коефициента:
(11)

Може да обобщим за сума на няколко последователни:
(12)

Сега просто остава да съберем всички коефициенти и ще получим… сумата от
всички коефициенти за по-малката степен .
Правим това докато степента не стане 0. От дефиницията ясно личи, че сумата е
1.
Да вярно в началото и края има малко боклук, но мисля че проблемът
може да се реши като мислено си добавим фиктивни коефициенти в началото и края,
които са 0. Или с Водка.

page_revision: 3, last_edited: 1229161857|%e
%b %Y, %H:%M %Z (%O ago)

EditRate
(0)TagsDiscuss History Files
Print Site tools+ Options

Edit sections Append Edit meta Watchers Backlinks Page source Parent Lock
page Rename Delete

Help | Terms
of Service | Privacy | Report a bug | Flag as objectionable
Powered by Wikidot.com

Unless otherwise stated, the content of
this page is licensed under Creative
Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License

Click here to edit contents of this page.

Click here to toggle editing of individual
sections of the page (if possible). Watch headings for an "edit" link when
available.

Append content without editing the whole
page source.

Check out how this page has evolved in the past.

If you want to discuss contents of this page -
this is the easiest way to do it.

View and manage file attachments for this page.

A few useful tools to manage this Site.

See pages that link to and include this page.

Change the name (also URL address, possibly
the category) of the page.

View wiki source for this page without
editing.

View/set parent page (used for creating
breadcrumbs and structured layout).

Notify administrators if there is
objectionable content in this page.

Something does not work as expected? Find out
what you can do.

General Wikidot.com documentation and help
section.

Wikidot.com Terms of Service - what you can,
what you should not etc.

Wikidot.com Privacy Policy.